首先，需要明确的是，每家银行对于借呗逾期的处理方式可能会有所不同。然而，一般情况下，借呗逾期一时间后，银行会采取一系列手来催收债务。

在借呗逾期之后，银行会通过电话、短信、邮件等方式与借款人取得联系，提醒其尽快还款，以避免进一步的逾期。如果借款人不予理睬或者仍然无法及时还款，银行会采用更严的催收手。

常见的催收手包括给借款人发送逾期通知函，要求其还款，并告知后果。如果借款人仍然拒绝还款，银行可能会将借呗的欠款转交给专业的催收公司进行处理。催收公司会采用更为强硬的手，包括上门催讨、与借款人亲友取得联系等，来追回欠款。

至于是否起诉借款人及其家人，这通常是在借款人无法偿还借呗逾期欠款且反复拒绝还款的情况下，银行可能会考虑采取法律手来追偿债务。然而，起诉借款人及其家人不是银行常见的做法，通常是作为最后手来应对特殊情况。

起诉借款人及其家人可能会带来一系列不良影响，不仅会给借款人及其家庭带来经济负担，而且也可能导致社会声誉的受损。因此，银行往往会尽量避免采取起诉行动，除非确实无法通过其他催收手追回欠款。

总体来说，借呗逾期后的处理方式是多样的，但起诉借款人及其家人通常是在其他催收手无效的情况下才会考虑的最后手。无论如何，无论是作为借款人还是作为家庭成员，都建议及时与银行联系，并尽快还清借款，以避免进一步的法律纠纷及其带来的不良后果。